गति का सामान्यीकृत हुक का नियम समीकरण। हुक के नियम की परिभाषा और सूत्र
ऊपर माना गया तनाव और तनाव राज्य एक ही भौतिक इकाई के घटक हैं - शरीर के एक बिंदु पर तनाव-तनाव की स्थिति।
विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, तनाव और तनाव के बीच मौजूद शारीरिक संबंधों को ध्यान में रखना आवश्यक है। सांख्यिकीय रूप से निर्धारित समस्याओं में, केवल संतुलन समीकरणों का उपयोग करके, शारीरिक संबंधों के बिना तनावों को खोजना संभव है। सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित समस्याओं में ऐसी कोई संभावना नहीं है।
तनाव और तनाव के बीच संबंध आमतौर पर प्रयोगों के माध्यम से स्थापित किया जाता है, और इसकी जटिलता सामग्री के गुणों पर निर्भर करती है। अभ्यास में व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली आइसोट्रोपिक सामग्रियों के लिए, रैखिक निर्भरता का उपयोग किया जाता है, जिसकी मदद से गणना करना संभव होता है जब तनाव काफी विस्तृत श्रृंखला में बदल जाता है।
आइए हम बलों की कार्रवाई की स्वतंत्रता के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, शरीर के एक बिंदु पर तनावग्रस्त और विकृत राज्यों के घटकों के बीच निर्भरता का विश्लेषण करें। इसके लिए, हमने एक ठोस पिंड से एक प्राथमिक समानांतर चतुर्भुज को काटा (चित्र 10.10)।
चावल। 10.10.
केवल अपरूपण प्रतिबल t gu / (चित्र 10.10) के तत्व पर कार्रवाई के मामले पर विचार करें। ए)।इस स्थिति में, समकोण केवल समतल के समांतर तलों में बदलता है हु।इसी तरह, हम कतरनी तनाव की क्रिया से उत्पन्न होने वाले कोणीय विस्थापन पर विचार कर सकते हैं x yzऔर xzv. यह मानते हुए कि सामग्री आइसोट्रोपिक है और कतरनी तनाव और कोणीय विस्थापन के बीच एक रैखिक संबंध है, हम संबंधों पर पहुंचते हैं
कहाँ पे जी-दूसरी तरह की लोच का मापांक।
आइए हम अक्ष की दिशा में सामान्य तनावों की क्रिया के कारण होने वाले विस्थापन का विश्लेषण करें ओह(चित्र 10.10, बी)।ऑक्स अक्ष की दिशा में इस तनाव के कारण होने वाली विकृति ct v /? के बराबर है, और अन्य दो अक्षों की दिशा में, पोइसन के अनुपात का उपयोग करके विस्थापन निर्धारित किया जाता है। वीसूत्र के अनुसार -वीजी वी/?.इसी प्रकार, अक्ष की दिशा में विकृतियाँ ओहसे और कम सेऔर एक 2। अंत में, सभी दिशाओं में विकृतियों को जोड़कर, हम प्राप्त करते हैं
जब शरीर का तापमान बदलता है, तो मान a पर,कहाँ पे पर-शरीर के तापमान में परिवर्तन; a एक आइसोट्रोपिक सामग्री के रैखिक थर्मल विस्तार का गुणांक है। सूत्रों (10.37) के संबंध में, वे अपरिवर्तित रहेंगे।
संबंध (10.37) और (10.38) कहलाते हैं सामान्यीकृत हुक का नियमरैखिक रूप से लोचदार आइसोट्रोपिक सामग्री के मामले में।
गणना करते समय, व्युत्क्रम संबंध भी उपयोगी होते हैं:
ध्यान दें कि शारीरिक संबंध प्राप्त करते समय, हमने स्पष्ट रूप से यह मान लिया था कि मुख्य प्रतिबल और मुख्य विकृति की दिशाएँ एक-दूसरे से मेल खाती हैं। इस धारणा को कहा जाता है तनाव और तनाव टेंसर की समाक्षीयता की स्थिति।
अनिसोट्रोपिक सामग्रियों के मामले में, जिनके गुण अलग-अलग दिशाओं में भिन्न होते हैं, समाक्षीयता की स्थिति संतुष्ट नहीं होती है। लोचदार अनिसोट्रोपिक सामग्री के लिए, सामान्यीकृत हुक का नियम निम्नलिखित रूप में लिखा गया है:
यहां पर -- लोच के स्थिरांक, जो सामग्री के गुणों को व्यक्त करते हैं। आइए हम संकेतन का परिचय दें
तब संबंधों (10.40) को वेक्टर-मैट्रिक्स रूप में दर्शाया जा सकता है:
जहां (ए) और (ई) - वैक्टर, क्रमशः, तनाव और तनाव; [लेकिन]सामग्री के लोचदार गुणों का मैट्रिक्स।
तीन स्थिरांक वाले एक समदैशिक रैखिक लोचदार पदार्थ के लिए ई, जीऔर v, जैसा कि हमने पहले स्थापित किया था, उनमें से केवल दो ही स्वतंत्र हैं। ऐसी सामग्री के लोचदार गुणों का मैट्रिक्स इस प्रकार है:
अनिसोट्रोपिक सामग्री (10.40) के लिए सामान्यीकृत हुक के नियम को लिखते समय, 36 स्थिरांक का उपयोग किया गया था। आइए हम स्थापित करें कि इनमें से कितनी मात्राएँ स्वतंत्र हैं। दो प्रतिबल अवस्थाओं पर विचार कीजिए (चित्र 10.11)।
चावल। 10.11.
दिशा में तत्व विस्तार पर, पहली दिशा की प्रतिबल अवस्था के कारण (चित्र 10.11,) ए),बराबरी डीएवीएल/= ए 2 पी एक्स डाई।इसी प्रकार, दूसरी प्रतिबल अवस्था के कारण पहली दिशा में तत्व का बढ़ाव निर्धारित होता है (चित्र 10.11, ख): डीए एफ/एक्स = ए एक्स पी वाई डीएक्स।
कार्य की पारस्परिकता के सिद्धांत के अनुसार
यह इस प्रकार है कि I |2 = एक 21.
इसी तरह, 14 और समानताएँ प्राप्त की जा सकती हैं ए: जी= एक संयुक्त,मैं, जे = 1, 2,..., 6, मैं*जे.सामग्री अनुपालन मैट्रिक्स लेकिनसममित है। इस प्रकार, अनिसोट्रोपिक सामग्री के लिए, 36 विशेषताओं में से केवल 21 स्वतंत्र हैं।
मिश्रित सामग्री का विश्लेषण करते समय, किसी को अनिसोट्रॉपी के विशेष मामलों से निपटना पड़ता है। सबसे आम मामला है ऑर्थोट्रोपिक सामग्री,तीन परस्पर लंबवत अक्षों के बारे में समरूपता द्वारा विशेषता। ऐसी अनिसोट्रॉपी का एक उदाहरण लकड़ी है। ऑर्थोट्रोपिक माध्यम के लोचदार गुणों को नौ स्वतंत्र स्थिरांक द्वारा वर्णित किया गया है:
जहां समरूपता संपत्ति द्वारा
मिश्रित सामग्री के लोचदार स्थिरांक ज्यादातर मामलों में प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित होते हैं।
- सदिश राशियों के रूप में प्रतिबल और विकृति का अंकन औपचारिक प्रकृति का होता है और सुविधा के लिए प्रस्तुत किया जाता है।
जैसा कि आप जानते हैं, भौतिकी प्रकृति के सभी नियमों का अध्ययन करती है: सरलतम से लेकर प्राकृतिक विज्ञान के सबसे सामान्य सिद्धांतों तक। उन क्षेत्रों में भी जहां, ऐसा प्रतीत होता है, भौतिकी इसका पता लगाने में सक्षम नहीं है, यह अभी भी एक प्राथमिक भूमिका निभाता है, और हर मामूली कानून, हर सिद्धांत - कुछ भी इससे बचता नहीं है।
के साथ संपर्क में
यह भौतिकी है जो नींव का आधार है, यही वह है जो सभी विज्ञानों के मूल में निहित है।
भौतिक विज्ञान सभी निकायों की बातचीत का अध्ययन करता है,दोनों विरोधाभासी रूप से छोटे और अविश्वसनीय रूप से बड़े। आधुनिक भौतिकी न केवल छोटे, बल्कि काल्पनिक पिंडों का सक्रिय रूप से अध्ययन कर रही है, और यहां तक कि यह ब्रह्मांड के सार पर प्रकाश डालता है।
भौतिकी को वर्गों में विभाजित किया गया है,यह न केवल स्वयं विज्ञान और उसकी समझ को सरल करता है, बल्कि अध्ययन की पद्धति को भी सरल बनाता है। यांत्रिकी का संबंध निकायों की गति और गतिमान पिंडों की परस्पर क्रिया, तापीय प्रक्रियाओं के साथ ऊष्मप्रवैगिकी और विद्युत प्रक्रियाओं के साथ इलेक्ट्रोडायनामिक्स से है।
विरूपण का अध्ययन यांत्रिकी द्वारा क्यों किया जाना चाहिए
संकुचन या तनाव की बात करते हुए, किसी को अपने आप से यह प्रश्न पूछना चाहिए: भौतिकी की किस शाखा को इस प्रक्रिया का अध्ययन करना चाहिए? मजबूत विकृतियों के साथ, गर्मी जारी की जा सकती है, शायद थर्मोडायनामिक्स को इन प्रक्रियाओं से निपटना चाहिए? कभी-कभी, जब तरल पदार्थ संपीड़ित होते हैं, तो यह उबलने लगता है, और जब गैसें संकुचित होती हैं, तो तरल पदार्थ बनते हैं? तो क्या, हाइड्रोडायनामिक्स को विरूपण सीखना चाहिए? या आणविक गतिज सिद्धांत?
यह सब निर्भर करता है विरूपण के बल पर, इसकी डिग्री पर।यदि विकृत माध्यम (एक सामग्री जो संकुचित या फैला हुआ है) अनुमति देता है, और संपीड़न छोटा है, तो इस प्रक्रिया को दूसरों के सापेक्ष शरीर के कुछ बिंदुओं की गति के रूप में माना जाना चाहिए।
और चूंकि प्रश्न विशुद्ध रूप से संबंधित है, इसका मतलब है कि यांत्रिकी इससे निपटेंगे।
हुक का नियम और इसके कार्यान्वयन की शर्तें
1660 में, प्रसिद्ध अंग्रेजी वैज्ञानिक रॉबर्ट हुक ने एक ऐसी घटना की खोज की जिसका उपयोग यांत्रिक रूप से विरूपण की प्रक्रिया का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।
यह समझने के लिए कि किन परिस्थितियों में हुक का नियम पूरा होता है, हम खुद को दो विकल्पों तक सीमित रखते हैं:
- बुधवार;
- बल।
ऐसे मीडिया हैं (उदाहरण के लिए, गैस, तरल पदार्थ, विशेष रूप से ठोस अवस्था के करीब चिपचिपा तरल पदार्थ या, इसके विपरीत, बहुत तरल तरल पदार्थ) जिसके लिए यांत्रिक रूप से प्रक्रिया का वर्णन करना असंभव है। और इसके विपरीत, ऐसे वातावरण हैं जिनमें, पर्याप्त रूप से बड़ी ताकतों के साथ, यांत्रिकी "काम" करना बंद कर देती है।
जरूरी!इस प्रश्न के लिए: "हुक का नियम किन शर्तों के तहत पूरा होता है?", कोई निश्चित उत्तर दे सकता है: "छोटे विकृतियों के लिए।"
हुक का नियम, परिभाषा: किसी पिंड में होने वाली विकृति उस विकृति का कारण बनने वाले बल के सीधे आनुपातिक होती है।
स्वाभाविक रूप से, इस परिभाषा का तात्पर्य है कि:
- संपीड़न या तनाव छोटा है;
- वस्तु लोचदार है;
- इसमें एक ऐसी सामग्री होती है जिसमें संपीड़न या तनाव के परिणामस्वरूप कोई गैर-रैखिक प्रक्रिया नहीं होती है।
गणितीय रूप में हुक का नियम
हुक का सूत्रीकरण, जो हमने ऊपर दिया है, इसे निम्नलिखित रूप में लिखना संभव बनाता है:
संपीड़न या तनाव के कारण शरीर की लंबाई में परिवर्तन कहाँ होता है, F शरीर पर लगाया जाने वाला बल है और विरूपण (लोचदार बल) का कारण बनता है, k लोच का गुणांक है, जिसे N/m में मापा जाता है।
यह याद रखना चाहिए कि हुक का नियम केवल छोटे हिस्सों के लिए मान्य।
हम यह भी ध्यान दें कि तनाव और संपीड़न के तहत इसका एक ही रूप है। यह देखते हुए कि बल एक सदिश राशि है और इसकी एक दिशा है, तो संपीड़न के मामले में, निम्न सूत्र अधिक सटीक होगा:
लेकिन फिर, यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि आप जिस अक्ष को माप रहे हैं, उसके सापेक्ष कहां निर्देशित किया जाएगा।
कम्प्रेशन और स्ट्रेचिंग के बीच मूलभूत अंतर क्या है? कुछ भी नहीं अगर यह महत्वहीन है।
प्रयोज्यता की डिग्री को निम्नलिखित रूप में माना जा सकता है:
आइए चार्ट पर एक नजर डालते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, छोटे तनाव (निर्देशांक की पहली तिमाही) के साथ, लंबे समय तक समन्वय के साथ बल का एक रैखिक संबंध (लाल सीधी रेखा) होता है, लेकिन फिर वास्तविक निर्भरता (धराशायी रेखा) अरैखिक हो जाती है, और कानून पूरा होना बंद हो जाता है। व्यवहार में, यह इतने मजबूत खिंचाव से परिलक्षित होता है कि वसंत अपनी मूल स्थिति में लौटना बंद कर देता है और अपने गुणों को खो देता है। अधिक खिंचाव के साथ फ्रैक्चर होता है और संरचना ढह जाती हैसामग्री।
छोटे संपीड़न (निर्देशांक की तीसरी तिमाही) के साथ, लंबे समय तक समन्वय के साथ बल का एक रैखिक संबंध (लाल रेखा) भी होता है, लेकिन फिर वास्तविक निर्भरता (धराशायी रेखा) अरेखीय हो जाती है, और सब कुछ फिर से सच हो जाता है . व्यवहार में, यह इस तरह के मजबूत संपीड़न से परिलक्षित होता है कि गर्मी विकीर्ण होने लगती हैऔर वसंत अपने गुणों को खो देता है। और भी अधिक संपीड़न के साथ, वसंत के कॉइल "एक साथ चिपक जाते हैं" और यह लंबवत रूप से ख़राब होने लगता है, और फिर पूरी तरह से पिघल जाता है।
जैसा कि आप देख सकते हैं, कानून को व्यक्त करने वाला सूत्र आपको बल को खोजने की अनुमति देता है, शरीर की लंबाई में परिवर्तन को जानकर, या लोच के बल को जानकर, लंबाई में परिवर्तन को मापता है:
इसके अलावा, कुछ मामलों में, आप लोच का गुणांक पा सकते हैं। यह कैसे किया जाता है यह समझने के लिए, एक उदाहरण कार्य पर विचार करें:
एक डायनेमोमीटर स्प्रिंग से जुड़ा होता है। 20 का बल लगाते हुए उसे खींचा गया, जिसके कारण उसकी लंबाई 1 मीटर होने लगी। फिर उन्होंने उसे जाने दिया, कंपन बंद होने तक इंतजार किया, और वह अपनी सामान्य स्थिति में लौट आई। सामान्य स्थिति में इसकी लंबाई 87.5 सेंटीमीटर होती थी। आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि वसंत किस सामग्री से बना है।
स्प्रिंग विरूपण का संख्यात्मक मान ज्ञात कीजिए:
यहाँ से हम गुणांक का मान व्यक्त कर सकते हैं:
तालिका को देखने के बाद, हम पा सकते हैं कि यह सूचक स्प्रिंग स्टील से मेल खाता है।
लोच के गुणांक के साथ परेशानी
जैसा कि आप जानते हैं, भौतिकी एक बहुत ही सटीक विज्ञान है, इसके अलावा, यह इतना सटीक है कि इसने संपूर्ण अनुप्रयुक्त विज्ञान का निर्माण किया है जो त्रुटियों को मापता है। अटूट सटीकता के मानक के रूप में, वह अनाड़ी होने का जोखिम नहीं उठा सकती।
अभ्यास से पता चलता है कि हमने जिस रैखिक निर्भरता पर विचार किया है, वह इससे ज्यादा कुछ नहीं है पतली और तन्यता वाली छड़ के लिए हुक का नियम।केवल एक अपवाद के रूप में इसका उपयोग स्प्रिंग्स के लिए किया जा सकता है, लेकिन यह भी अवांछनीय है।
यह पता चला है कि गुणांक k एक चर है, जो न केवल इस बात पर निर्भर करता है कि शरीर किस सामग्री से बना है, बल्कि व्यास और उसके रैखिक आयामों पर भी निर्भर करता है।
इस कारण से, हमारे निष्कर्षों को स्पष्टीकरण और विकास की आवश्यकता है, अन्यथा, सूत्र:
तीन चरों के बीच संबंध के अलावा और कुछ नहीं कहा जा सकता है।
यंग मापांक
आइए लोच के गुणांक का पता लगाने का प्रयास करें। यह पैरामीटर, जैसा कि हमने पाया, तीन मात्राओं पर निर्भर करता है:
- सामग्री (जो हमें काफी अच्छी तरह से सूट करती है);
- लंबाई एल (जो इसकी निर्भरता को इंगित करता है);
- क्षेत्र एस.
जरूरी!इस प्रकार, यदि हम किसी तरह से लंबाई एल और क्षेत्र एस को गुणांक से "अलग" करने का प्रबंधन करते हैं, तो हमें एक गुणांक मिलेगा जो पूरी तरह से सामग्री पर निर्भर करता है।
हम क्या जानते हैं:
- शरीर का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र जितना बड़ा होगा, गुणांक k उतना ही अधिक होगा, और निर्भरता रैखिक होगी;
- शरीर की लंबाई जितनी लंबी होगी, गुणांक k उतना ही छोटा होगा, और निर्भरता व्युत्क्रमानुपाती होती है।
तो, हम लोच के गुणांक को इस तरह लिख सकते हैं:
जहां ई एक नया गुणांक है, जो अब पूरी तरह से सामग्री के प्रकार पर निर्भर करता है।
आइए हम "सापेक्ष बढ़ाव" की अवधारणा का परिचय दें:
.
निष्कर्ष
हम तनाव और संपीड़न के लिए हुक का नियम बनाते हैं: कम संपीड़न पर, सामान्य तनाव सापेक्ष बढ़ाव के सीधे आनुपातिक होता है।
गुणांक E को यंग मापांक कहा जाता है और यह पूरी तरह से सामग्री पर निर्भर करता है।
जब एक छड़ को खींचा और संकुचित किया जाता है, तो उसकी लंबाई और अनुप्रस्थ काट के आयाम बदल जाते हैं। यदि हम मानसिक रूप से विकृत अवस्था में छड़ से लंबाई का एक तत्व चुनते हैं डीएक्स,तो विरूपण के बाद इसकी लंबाई बराबर होगी डीएक्स ((चित्र। 3.6)। इस मामले में, अक्ष की दिशा में पूर्ण बढ़ाव ओहके बराबर होगा
और सापेक्ष रैखिक विरूपण भूतपूर्वसमानता द्वारा परिभाषित किया गया है
धुरी के बाद से ओहरॉड की धुरी के साथ मेल खाता है, जिसके साथ बाहरी भार कार्य करते हैं, हम विरूपण कहते हैं भूतपूर्वअनुदैर्ध्य विरूपण, जिसके लिए सूचकांक नीचे छोड़ा जाएगा। अक्ष के लंबवत दिशाओं में विकृतियाँ अनुप्रस्थ विकृति कहलाती हैं। यदि द्वारा निरूपित किया जाता है बीक्रॉस सेक्शन का विशिष्ट आकार (चित्र। 3.6), फिर अनुप्रस्थ विरूपण संबंध द्वारा निर्धारित किया जाता है 
सापेक्ष रैखिक विकृतियाँ आयामहीन मात्राएँ हैं। यह स्थापित किया गया है कि केंद्रीय तनाव और रॉड के संपीड़न के दौरान अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य विकृति निर्भरता द्वारा परस्पर जुड़ी हुई हैं
इस समानता में शामिल मात्रा v कहलाती है जहर के अनुपातया अनुप्रस्थ तनाव का गुणांक। यह गुणांक सामग्री की लोच के मुख्य स्थिरांकों में से एक है और विकृतियों को पार करने की इसकी क्षमता की विशेषता है। प्रत्येक सामग्री के लिए, यह एक तन्यता या संपीड़न परीक्षण (§ 3.5 देखें) से निर्धारित होता है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है
जैसा कि समानता (3.6) से होता है, अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ उपभेदों में हमेशा विपरीत संकेत होते हैं, जो स्पष्ट तथ्य की पुष्टि है - खींचते समय, क्रॉस सेक्शन के आयाम कम हो जाते हैं, और जब संकुचित होते हैं, तो वे बढ़ जाते हैं।
विभिन्न सामग्रियों के लिए पॉइसन का अनुपात अलग है। आइसोट्रोपिक सामग्रियों के लिए, यह 0 से 0.5 तक के मान ले सकता है। उदाहरण के लिए, कॉर्क की लकड़ी के लिए, पॉइसन का अनुपात शून्य के करीब है, जबकि रबर के लिए यह 0.5 के करीब है। सामान्य तापमान पर कई धातुओं के लिए, पॉसों के अनुपात का मान 0.25 + 0.35 की सीमा में होता है।
जैसा कि कई प्रयोगों में स्थापित किया गया है, छोटे उपभेदों पर अधिकांश संरचनात्मक सामग्रियों के लिए, तनाव और तनाव के बीच एक रैखिक संबंध होता है
आनुपातिकता के इस नियम की स्थापना सर्वप्रथम अंग्रेज वैज्ञानिक रॉबर्ट हुक ने की थी और इसे कहते हैं हुक का नियम।
हुक के नियम में शामिल स्थिरांक इलोच का मापांक कहलाता है। लोच का मापांक एक सामग्री की लोच का दूसरा मुख्य स्थिरांक है और इसकी कठोरता की विशेषता है। चूंकि स्ट्रेन आयामहीन मात्राएं हैं, इसलिए (3.7) से यह पता चलता है कि लोच के मापांक में तनाव का आयाम होता है।
तालिका में। 3.1 विभिन्न सामग्रियों के लिए लोच के मापांक और पॉइसन के अनुपात के मूल्यों को दर्शाता है।
संरचनाओं को डिजाइन और गणना करते समय, तनाव की गणना के साथ, व्यक्तिगत बिंदुओं और संरचनाओं के नोड्स के विस्थापन को निर्धारित करना भी आवश्यक है। केंद्रीय तनाव और सलाखों के संपीड़न के तहत विस्थापन की गणना के लिए एक विधि पर विचार करें।
निरपेक्ष तत्व विस्तार लंबाई डीएक्स(चित्र। 3.6) सूत्र के अनुसार (3.5) है
तालिका 3.1
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सामग्री नाम |
लोच का मापांक, एमपीए |
गुणक प्वासों |
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कार्बन स्टील |
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एल्यूमीनियम मिश्र धातु |
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टाइटेनियम मिश्र |
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(1.15-एस-1.6) 10 5 |
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तंतुओं के साथ |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
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तंतुओं के पार |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
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(0,097 + 0,408) -10 5 |
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ईंट का काम |
(0,027 +0,03)-10 5 |
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शीसे रेशा एसवीएएम |
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टेक्स्टोलाइट |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
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रबर पर रबड़ |
इस व्यंजक को 0 से x के परास में समाकलित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
कहाँ पे उन्हें) - एक मनमाना खंड का अक्षीय विस्थापन (चित्र। 3.7), और सी = और ( 0) - प्रारंभिक खंड का अक्षीय विस्थापन एक्स = 0.यदि यह खंड निश्चित है, तो u(0) = 0 और एक मनमाना खंड का विस्थापन है
छड़ का बढ़ाव या छोटा होना इसके मुक्त सिरे के अक्षीय विस्थापन के बराबर है (चित्र 3.7), जिसका मान हम (3.8) से प्राप्त करते हैं, यह मानते हुए एक्स = 1:
सूत्र (3.8) में विरूपण के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करना? हुक के नियम (3.7) से, हम प्राप्त करते हैं
लोच के निरंतर मापांक वाली सामग्री से बनी छड़ के लिए इअक्षीय विस्थापन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
इस समानता में सम्मिलित समाकल की गणना दो प्रकार से की जा सकती है। फ़ंक्शन को विश्लेषणात्मक रूप से लिखने का पहला तरीका है ओह)और बाद में एकीकरण। दूसरी विधि इस तथ्य पर आधारित है कि विचाराधीन इंटीग्रल संख्यात्मक रूप से खंड में प्लॉट क्षेत्र ए के बराबर है।संकेतन का परिचय
आइए विशेष मामलों पर विचार करें। एक सांद्र बल द्वारा खींची गई छड़ के लिए आर(चावल। 3.3, ए),अनुदैर्ध्य बल। / वी लंबाई के साथ स्थिर है और बराबर है आर।(3.4) के अनुसार तनाव भी स्थिर और बराबर हैं 
तब (3.10) से हम प्राप्त करते हैं
इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि छड़ के एक निश्चित भाग पर प्रतिबल स्थिर है, तो विस्थापन एक रैखिक नियम के अनुसार बदल जाता है। अंतिम सूत्र में प्रतिस्थापित करना एक्स = 1,छड़ की लम्बाई ज्ञात कीजिए:
कार्य एफईबुलाया तनाव और संपीड़न में रॉड की कठोरता।यह मान जितना बड़ा होगा, छड़ का बढ़ाव या छोटा होना उतना ही छोटा होगा।
एक समान रूप से वितरित भार की क्रिया के तहत एक छड़ पर विचार करें (चित्र। 3.8)। एक मनमाने खंड में अनुदैर्ध्य बल, बन्धन से x की दूरी पर, बराबर है
डिवाइडिंग एनपर एफ,हमें तनाव का सूत्र मिलता है
इस व्यंजक को (3.10) में प्रतिस्थापित करने और समाकलन करने पर, हम पाते हैं
सबसे बड़ा विस्थापन, पूरी छड़ के बढ़ाव के बराबर, x = / को (3.13) में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:
सूत्रों (3.12) और (3.13) से यह देखा जा सकता है कि यदि तनाव x पर रैखिक रूप से निर्भर करता है, तो विस्थापन वर्ग परवलय के नियम के अनुसार बदल जाता है। भूखंडों एन,ओह, और औरअंजीर में दिखाया गया है। 3.8.
सामान्य अंतर निर्भरता लिंकिंग कार्य उन्हें)और a(x), संबंध (3.5) से प्राप्त किया जा सकता है। इस संबंध में हुक के नियम (3.7) से e को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं
इस निर्भरता से, विशेष रूप से, उपरोक्त उदाहरणों में नोट किए गए फ़ंक्शन में परिवर्तन के पैटर्न का पालन करें उन्हें)।
इसके अलावा, यह ध्यान दिया जा सकता है कि यदि किसी भी खंड में तनाव गायब हो जाता है, तो आरेख पर औरइस खंड में एक चरम हो सकता है।
एक उदाहरण के रूप में, आइए एक आरेख बनाते हैं औरअंजीर में दिखाए गए रॉड के लिए। 3.2, डालना इ- 10 4 एमपीए। भूखंड क्षेत्रों की गणना के विषय मेंविभिन्न क्षेत्रों के लिए, हम पाते हैं:
खंड एक्स = 1 मीटर:
खंड x = 3 मीटर:
खंड x = 5 मीटर:
आरेख पट्टी के ऊपरी भाग पर औरएक वर्गाकार परवलय है (चित्र 3.2, इ)।इस मामले में, खंड x = 1 मीटर में एक चरम सीमा होती है। निचले भाग में, आरेख का चरित्र रैखिक है।
रॉड का कुल बढ़ाव, जो इस मामले में बराबर है
सूत्रों (3.11) और (3.14) का उपयोग करके गणना की जा सकती है। चूंकि छड़ का निचला भाग (चित्र 3.2 देखें) ए)बल द्वारा बढ़ाया गया आर ((3.11) के अनुसार इसकी लंबाई बराबर है
बल की क्रिया आर (रॉड के ऊपरी भाग में भी प्रेषित किया जाता है। इसके अलावा, यह बल द्वारा संकुचित होता है आर 2और एक समान रूप से वितरित भार द्वारा फैला हुआ है क्यू।इसके अनुसार, इसकी लंबाई में परिवर्तन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
A/, और A/2 के मानों का योग करने पर हमें ऊपर जैसा ही परिणाम मिलता है।
अंत में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि, तनाव और संपीड़न के तहत छड़ के विस्थापन और बढ़ाव (छोटा करने) के छोटे मूल्य के बावजूद, उन्हें उपेक्षित नहीं किया जा सकता है। इन मात्राओं की गणना करने की क्षमता कई तकनीकी समस्याओं (उदाहरण के लिए, संरचनाओं को इकट्ठा करते समय) के साथ-साथ सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।
किसी ठोस पिंड पर बाह्य बलों की क्रिया से उसके आयतन के बिन्दुओं पर तनाव और खिंचाव उत्पन्न होता है। इस मामले में, एक बिंदु पर तनाव की स्थिति, इस बिंदु से गुजरने वाले विभिन्न स्थलों पर तनाव के बीच संबंध, स्टैटिक्स के समीकरणों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं और सामग्री के भौतिक गुणों पर निर्भर नहीं होते हैं। विकृत अवस्था, विस्थापन और विकृति के बीच संबंध ज्यामितीय या गतिज विचारों का उपयोग करके स्थापित किया जाता है और यह सामग्री के गुणों पर भी निर्भर नहीं करता है। तनाव और तनाव के बीच संबंध स्थापित करने के लिए, सामग्री के वास्तविक गुणों और लोडिंग की स्थिति को ध्यान में रखना आवश्यक है। प्रयोगात्मक डेटा के आधार पर तनाव और तनाव के बीच संबंध का वर्णन करने वाले गणितीय मॉडल विकसित किए जाते हैं। इन मॉडलों को पर्याप्त सटीकता के साथ सामग्री के वास्तविक गुणों और लोडिंग की स्थिति को प्रतिबिंबित करना चाहिए।
संरचनात्मक सामग्रियों के लिए सबसे आम लोच और प्लास्टिसिटी के मॉडल हैं। लोच बाहरी भार की कार्रवाई के तहत आकार और आकार बदलने के लिए एक शरीर की संपत्ति है और भार हटा दिए जाने पर इसकी मूल कॉन्फ़िगरेशन को पुनर्स्थापित करता है। गणितीय रूप से, लोच की संपत्ति तनाव टेंसर के घटकों और तनाव टेंसर के बीच एक-से-एक कार्यात्मक संबंध स्थापित करने में व्यक्त की जाती है। लोच की संपत्ति न केवल सामग्री के गुणों को दर्शाती है, बल्कि लोडिंग की स्थिति को भी दर्शाती है। अधिकांश संरचनात्मक सामग्रियों के लिए, लोच की संपत्ति बाहरी ताकतों के मध्यम मूल्यों पर प्रकट होती है, जिससे छोटे विरूपण होते हैं, और कम लोडिंग दर पर, जब तापमान प्रभाव के कारण ऊर्जा हानि नगण्य होती है। एक सामग्री को रैखिक रूप से लोचदार कहा जाता है यदि तनाव टेंसर और तनाव टेंसर के घटक रैखिक संबंधों से जुड़े होते हैं।
लोडिंग के उच्च स्तर पर, जब शरीर में महत्वपूर्ण विकृतियाँ होती हैं, तो सामग्री आंशिक रूप से अपने लोचदार गुणों को खो देती है: जब अनलोड किया जाता है, तो इसके मूल आयाम और आकार पूरी तरह से बहाल नहीं होते हैं, और जब बाहरी भार पूरी तरह से हटा दिए जाते हैं, तो अवशिष्ट विकृतियाँ तय हो जाती हैं। इस मामले में तनाव और तनाव के बीच संबंध स्पष्ट नहीं रह जाता है। इस भौतिक संपत्ति को कहा जाता है प्लास्टिसिटी।प्लास्टिक विरूपण की प्रक्रिया में संचित अवशिष्ट विकृति को प्लास्टिक कहा जाता है।
उच्च स्तर का तनाव पैदा कर सकता है विनाश, यानी शरीर का भागों में विभाजन।विभिन्न सामग्रियों से बने ठोस शरीर विभिन्न मात्रा में विरूपण पर नष्ट हो जाते हैं। फ्रैक्चर छोटे उपभेदों पर भंगुर होता है और एक नियम के रूप में, ध्यान देने योग्य प्लास्टिक विकृतियों के बिना होता है। ऐसा विनाश कच्चा लोहा, मिश्र धातु इस्पात, कंक्रीट, कांच, चीनी मिट्टी की चीज़ें और कुछ अन्य संरचनात्मक सामग्री के लिए विशिष्ट है। कम कार्बन स्टील्स, अलौह धातुओं, प्लास्टिक के लिए, एक प्लास्टिक प्रकार का फ्रैक्चर महत्वपूर्ण अवशिष्ट विकृतियों की उपस्थिति में विशेषता है। हालांकि, भंगुर और नमनीय में उनके विनाश की प्रकृति के अनुसार सामग्री का विभाजन बहुत सशर्त है; यह आमतौर पर कुछ मानक संचालन स्थितियों को संदर्भित करता है। परिस्थितियों (तापमान, भार की प्रकृति, निर्माण तकनीक, आदि) के आधार पर, एक ही सामग्री भंगुर या नमनीय के रूप में व्यवहार कर सकती है। उदाहरण के लिए, सामान्य तापमान पर प्लास्टिक की सामग्री कम तापमान पर भंगुर के रूप में नष्ट हो जाती है। इसलिए, भंगुर और प्लास्टिक सामग्री के बारे में नहीं, बल्कि सामग्री की भंगुर या प्लास्टिक की स्थिति के बारे में बात करना अधिक सही है।
सामग्री को रैखिक रूप से लोचदार और आइसोट्रोपिक होने दें। आइए हम एक अक्षीय तनाव अवस्था (चित्र 1) की स्थितियों के तहत एक प्राथमिक आयतन पर विचार करें, ताकि तनाव टेंसर का रूप हो
ऐसी लोडिंग के तहत, अक्ष की दिशा में आयामों में वृद्धि होती है ओह,रैखिक विरूपण की विशेषता है, जो तनाव के परिमाण के समानुपाती है
चित्र .1।एक अक्षीय तनाव अवस्था
यह अनुपात एक गणितीय संकेतन है हुक का नियमएक अक्षीय तनाव अवस्था में तनाव और संबंधित रैखिक विरूपण के बीच आनुपातिक संबंध स्थापित करना। आनुपातिकता E के गुणांक को अनुदैर्ध्य लोच का मापांक या यंग का मापांक कहा जाता है।इसमें तनाव का आयाम है।
कार्रवाई की दिशा में आकार में वृद्धि के साथ-साथ; एक ही तनाव के तहत, आयाम दो ओर्थोगोनल दिशाओं में घटते हैं (चित्र 1)। संबंधित विकृतियों को और द्वारा निरूपित किया जाएगा , और ये विकृतियाँ सकारात्मक लोगों के लिए ऋणात्मक हैं और इसके समानुपाती हैं:
तीन ऑर्थोगोनल कुल्हाड़ियों के साथ तनाव की एक साथ कार्रवाई के साथ, जब कोई स्पर्शरेखा तनाव नहीं होता है, तो सुपरपोजिशन (समाधानों का सुपरपोजिशन) का सिद्धांत एक रैखिक लोचदार सामग्री के लिए मान्य होता है:
सूत्र (1 - 4) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं
|
स्पर्शरेखा तनाव कोणीय विकृति का कारण बनते हैं, और छोटे विकृतियों पर वे रैखिक आयामों में परिवर्तन को प्रभावित नहीं करते हैं, और इसलिए, रैखिक विकृतियाँ। इसलिए, वे एक मनमाना तनाव राज्य के मामले में भी मान्य हैं और तथाकथित व्यक्त करते हैं सामान्यीकृत हुक का नियम।
कोणीय विरूपण कतरनी तनाव, और विकृतियों के कारण होता है और क्रमशः तनाव के कारण होता है। रैखिक रूप से लोचदार आइसोट्रोपिक शरीर के लिए संबंधित कतरनी तनाव और कोणीय विकृतियों के बीच, आनुपातिक संबंध हैं
जो कानून व्यक्त करते हैं शिफ्ट पर हुक।आनुपातिकता कारक G कहा जाता है कतरनी मॉड्यूल।यह महत्वपूर्ण है कि सामान्य तनाव कोणीय विकृतियों को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि इस मामले में केवल खंडों के रैखिक आयाम बदलते हैं, न कि उनके बीच के कोण (चित्र 1)।
औसत तनाव (2.18) के बीच एक रैखिक संबंध भी मौजूद है, जो तनाव टेंसर के पहले अपरिवर्तनीय के लिए आनुपातिक है, और वॉल्यूमेट्रिक तनाव (2.32), जो तनाव टेंसर के पहले अपरिवर्तनीय के साथ मेल खाता है:
रेखा चित्र नम्बर 2।प्लानर कतरनी तनाव
संगत पक्षानुपात सेवाबुलाया लोच का थोक मापांक।
सूत्र (1 - 7) में सामग्री की लोचदार विशेषताएं शामिल हैं इ, , जीऔर को,इसके लोचदार गुणों का निर्धारण। हालाँकि, ये विशेषताएँ स्वतंत्र नहीं हैं। एक आइसोट्रोपिक सामग्री के लिए, दो स्वतंत्र लोचदार विशेषताओं को आमतौर पर लोचदार मापांक के रूप में चुना जाता है इऔर पॉइसन का अनुपात। कतरनी मापांक व्यक्त करने के लिए जीके माध्यम से इऔर , आइए हम अपरूपण प्रतिबल (चित्र 2) की क्रिया के तहत एक समतल अपरूपण विकृति पर विचार करें। गणनाओं को सरल बनाने के लिए, हम एक वर्ग तत्व का उपयोग करते हैं जिसमें एक भुजा होती है ए।प्रमुख तनावों की गणना करें , . ये तनाव मूल साइटों के कोण पर स्थित साइटों पर कार्य करते हैं। अंजीर से। 2 तनाव और कोणीय विरूपण की दिशा में रैखिक विरूपण के बीच संबंध खोजें . विकृति को दर्शाने वाले समचतुर्भुज का प्रमुख विकर्ण बराबर होता है
छोटे विकृतियों के लिए
इन अनुपातों को देखते हुए
विरूपण से पहले, इस विकर्ण का आकार था . तब हमारे पास होगा
सामान्यीकृत हुक के नियम (5) से हम प्राप्त करते हैं
शिफ्ट (6) के साथ हुक के नियम के साथ प्राप्त सूत्र की तुलना देता है
परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है
इस व्यंजक की तुलना हुक के आयतन नियम (7) से करने पर हम परिणाम प्राप्त करते हैं
यांत्रिक विशेषताएं इ, , जीऔर सेवाविभिन्न प्रकार के भार के लिए परीक्षण नमूनों के प्रयोगात्मक डेटा को संसाधित करने के बाद पाए जाते हैं। भौतिक दृष्टि से ये सभी विशेषताएँ नकारात्मक नहीं हो सकतीं। इसके अलावा, यह अंतिम अभिव्यक्ति से निम्नानुसार है कि एक आइसोट्रोपिक सामग्री के लिए पॉइसन का अनुपात 1/2 से अधिक नहीं है। इस प्रकार, हम एक आइसोट्रोपिक सामग्री के लोचदार स्थिरांक के लिए निम्नलिखित प्रतिबंध प्राप्त करते हैं:
सीमा मूल्य सीमा मूल्य की ओर जाता है , जो एक असम्पीडित सामग्री ( पर ) से मेल खाती है। अंत में, हम लोच संबंधों (5) से विकृतियों के संदर्भ में तनाव व्यक्त करते हैं। हम संबंधों के पहले (5) को फॉर्म में लिखते हैं
समानता (9) का उपयोग करते हुए, हमारे पास होगा
इसी तरह के संबंधों को और के लिए प्राप्त किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है
|
यहाँ अपरूपण मापांक के लिए संबंध (8) का उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, पदनाम
लोचदार विरूपण की संभावित ऊर्जा
पहले प्राथमिक आयतन पर विचार करें dV=dxdydzएक अक्षीय तनाव अवस्था (चित्र 1) की स्थितियों के तहत। प्लेटफॉर्म को मानसिक रूप से ठीक करें एक्स = 0(चित्र 3)। एक बल विपरीत दिशा में कार्य करता है .
यह बल विस्थापन में कार्य करता है। .
जैसे-जैसे वोल्टेज शून्य से मान तक बढ़ता है
हुक के नियम के आधार पर संबंधित विकृति भी शून्य से बढ़कर मान हो जाती है ,
और कार्य अंजीर में छायांकित के समानुपाती है। 4 वर्ग: 
. यदि हम गतिज ऊर्जा और थर्मल, विद्युत चुम्बकीय और अन्य घटनाओं से जुड़े नुकसान की उपेक्षा करते हैं, तो ऊर्जा के संरक्षण के कानून के आधार पर किया गया कार्य बदल जाएगा स्थितिज ऊर्जाविरूपण प्रक्रिया के दौरान संचित: .
एफ = डीयू/डीवीबुलाया विरूपण की विशिष्ट संभावित ऊर्जा,जिसका अर्थ है शरीर के एक इकाई आयतन में संचित स्थितिज ऊर्जा। एक अक्षीय तनाव राज्य के मामले में
8.2. सामग्री की ताकत में प्रयुक्त बुनियादी कानून
स्टैटिक्स के संबंध। वे निम्नलिखित संतुलन समीकरणों के रूप में लिखे गए हैं।
हुक का नियम ( 1678): बल जितना अधिक होगा, विरूपण उतना ही अधिक होगा, और इसके अलावा, बल के सीधे आनुपातिक है. शारीरिक रूप से, इसका मतलब है कि सभी शरीर स्प्रिंग्स हैं, लेकिन बड़ी कठोरता के साथ। अनुदैर्ध्य बल द्वारा बीम के साधारण तनाव के साथ एन= एफइस कानून को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
यहां 
अनुदैर्ध्य बल, मैं- बार की लंबाई, लेकिन- इसका पार-अनुभागीय क्षेत्र, इ- पहली तरह की लोच का गुणांक ( यंग मापांक).
तनाव और तनाव के सूत्रों को ध्यान में रखते हुए, हुक का नियम इस प्रकार लिखा गया है: 
.
कतरनी तनाव और कतरनी कोण के बीच प्रयोगों में एक समान संबंध देखा गया है:
.
जी
बुलायाअपरूपण - मापांक
, कम अक्सर - दूसरी तरह का लोचदार मापांक। किसी भी कानून की तरह, इसकी प्रयोज्यता और हुक के नियम की एक सीमा है। वोल्टेज 
, जहाँ तक हुक का नियम मान्य है, कहलाता है आनुपातिकता की सीमा(यह सोप्रोमैट में सबसे महत्वपूर्ण विशेषता है)।
आइए निर्भरता का चित्रण करें
से
रेखांकन (चित्र। 8.1)। इस पेंटिंग को कहा जाता है खिंचाव आरेख
. बिंदु B के बाद (अर्थात at 
), यह निर्भरता अब रैखिक नहीं है।
पर 
उतारने के बाद, शरीर में अवशिष्ट विकृतियाँ दिखाई देती हैं, इसलिए 
बुलाया इलास्टिक लिमिट
.
जब प्रतिबल = t के मान तक पहुँच जाता है, तो कई धातुएँ नामक गुण प्रदर्शित करने लगती हैं द्रवता. इसका मतलब है कि निरंतर भार के तहत भी, सामग्री ख़राब होती रहती है (अर्थात तरल की तरह व्यवहार करती है)। ग्राफिक रूप से, इसका मतलब है कि आरेख एब्सिस्सा (डीएल प्लॉट) के समानांतर है। वह तनाव t जिस पर पदार्थ प्रवाहित होता है, कहलाता है नम्य होने की क्षमता .
कुछ सामग्री (कला। 3 - स्टील का निर्माण) एक छोटे प्रवाह के बाद फिर से विरोध करना शुरू कर देती है। सामग्री का प्रतिरोध एक निश्चित अधिकतम मूल्य पीआर तक जारी रहता है, फिर धीरे-धीरे विनाश शुरू होता है। मान पीआर - कहा जाता है तन्यता ताकत (स्टील का पर्यायवाची: तन्य शक्ति, कंक्रीट के लिए - घन या प्रिज्मीय शक्ति)। निम्नलिखित पदनामों का भी उपयोग किया जाता है:
=आर बी
स्पर्शरेखा तनाव और कतरनी के बीच प्रयोगों में एक समान निर्भरता देखी गई है।
3) डुगमेल-न्यूमैन कानून (रैखिक थर्मल विस्तार):
तापमान अंतर की उपस्थिति में, शरीर अपना आकार बदलता है, और इस तापमान अंतर के सीधे आनुपातिक होता है।
तापमान में अंतर होने दें 
. तब यह कानून रूप लेता है:
यहां α - रैखिक थर्मल विस्तार का गुणांक, मैं - रॉड की लंबाई, मैं- इसका लंबा होना।
4) रेंगने का कानून .
अध्ययनों से पता चला है कि सभी सामग्री छोटे में अत्यधिक अमानवीय हैं। स्टील की योजनाबद्ध संरचना चित्र 8.2 में दिखाई गई है।
कुछ घटकों में द्रव गुण होते हैं, इसलिए लोड के तहत कई सामग्रियां समय के साथ अतिरिक्त बढ़ाव प्राप्त करती हैं। 
(अंजीर। 8.3।) (उच्च तापमान पर धातु, कंक्रीट, लकड़ी, प्लास्टिक - सामान्य तापमान पर)। इस घटना को कहा जाता है रेंगनासामग्री।
एक तरल के लिए, कानून सत्य है: जितना अधिक बल होगा, द्रव में शरीर की गति उतनी ही अधिक होगी. यदि यह संबंध रैखिक है (अर्थात बल गति के समानुपाती है), तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
इ 
यदि हम सापेक्ष बलों और सापेक्ष बढ़ावों पर जाएं, तो हम प्राप्त करते हैं
यहाँ सूचकांक " करोड़
"मतलब बढ़ाव का वह भाग जो पदार्थ के रेंगने से उत्पन्न होता है, माना जाता है। यांत्रिक विशेषता 
चिपचिपापन गुणांक कहा जाता है।
ऊर्जा संरक्षण का नियम।
एक भरी हुई बीम पर विचार करें
आइए हम एक बिंदु को हिलाने की अवधारणा का परिचय दें, उदाहरण के लिए,
- बिंदु बी की ऊर्ध्वाधर गति;
- बिंदु C की क्षैतिज ऑफसेट।
ताकतों 
कुछ काम करते समय यू.
यह देखते हुए कि बल 
धीरे-धीरे बढ़ना शुरू करते हैं और यह मानते हुए कि वे विस्थापन के अनुपात में बढ़ते हैं, हम प्राप्त करते हैं:
.
संरक्षण कानून के अनुसार: कोई भी काम गायब नहीं होता, वह दूसरे काम करने में खर्च हो जाता है या दूसरी ऊर्जा में चला जाता है (ऊर्जावह कार्य है जो शरीर कर सकता है।
बलों का काम 
, हमारे शरीर में उत्पन्न होने वाली लोचदार शक्तियों के प्रतिरोध पर काबू पाने पर खर्च किया जाता है। इस कार्य की गणना करने के लिए, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि शरीर को छोटे लोचदार कणों से मिलकर बना माना जा सकता है। आइए उनमें से एक पर विचार करें:
पड़ोसी कणों की ओर से, उस पर एक तनाव कार्य करता है 
. परिणामी तनाव होगा 
प्रभाव में 
कण लम्बा है। परिभाषा के अनुसार, बढ़ाव प्रति इकाई लंबाई बढ़ाव है। फिर:
आइए काम की गणना करें डीडब्ल्यूकि बल करता है डीएन (यहाँ यह भी ध्यान में रखा गया है कि बल डीएनधीरे-धीरे बढ़ने लगते हैं और वे विस्थापन के अनुपात में बढ़ते हैं):
पूरे शरीर के लिए हमें मिलता है:
.
कार्य वूप्रतिबद्ध 
, बुलाया लोचदार विरूपण ऊर्जा।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
6)सिद्धांत संभव आंदोलन .
यह ऊर्जा संरक्षण के नियम को लिखने का एक तरीका है।
बलों को बीम पर कार्य करने दें एफ 1
,
एफ 2
,
…
. वे शरीर में बिंदुओं को स्थानांतरित करने का कारण बनते हैं 
और तनाव 
. चलो शरीर देते हैं अतिरिक्त छोटे संभावित विस्थापन
. यांत्रिकी में, प्रपत्र का रिकॉर्ड 
वाक्यांश का अर्थ है "मात्रा का संभावित मूल्य ए". ये संभावित हलचलें शरीर में पैदा करेंगी अतिरिक्त संभावित विकृतियाँ
. वे अतिरिक्त बाहरी ताकतों और तनावों की उपस्थिति का कारण बनेंगे। 
,
δ.
आइए अतिरिक्त संभावित छोटे विस्थापन पर बाहरी बलों के काम की गणना करें:
यहां 
- उन बिंदुओं का अतिरिक्त विस्थापन जहां बल लागू होते हैं एफ 1
,
एफ 2
,
…
एक क्रॉस सेक्शन के साथ फिर से एक छोटे तत्व पर विचार करें डीए और लंबाई dz (अंजीर देखें। 8.5. और 8.6।)। परिभाषा के अनुसार, अतिरिक्त बढ़ाव dzइस तत्व की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
dz= डी.जे.
तत्व का तन्यता बल होगा:
डीएन = (+δ) डीए ≈ डीए..
अतिरिक्त विस्थापन पर आंतरिक बलों के कार्य की गणना एक छोटे तत्व के लिए निम्नानुसार की जाती है:
डीडब्ल्यू = डीएन डीजे = डीए डीजे = डीवी
साथ में 
सभी छोटे तत्वों की तनाव ऊर्जा को जोड़कर, हम कुल तनाव ऊर्जा प्राप्त करते हैं:
ऊर्जा संरक्षण का नियम वू = यूदेता है:
.
इस अनुपात को कहा जाता है संभावित आंदोलनों का सिद्धांत(यह भी कहा जाता है आभासी आंदोलनों का सिद्धांत)।इसी प्रकार, हम उस स्थिति पर विचार कर सकते हैं जब अपरूपण प्रतिबल भी कार्य करता है। तब यह प्राप्त किया जा सकता है कि तनाव ऊर्जा वूनिम्नलिखित शब्द जोड़ें:
यहाँ - अपरूपण प्रतिबल, - छोटे तत्व का अपरूपण। फिर संभावित आंदोलनों का सिद्धांतफॉर्म लेगा:
ऊर्जा के संरक्षण के कानून को लिखने के पिछले रूप के विपरीत, यहां कोई धारणा नहीं है कि बल धीरे-धीरे बढ़ने लगते हैं, और वे विस्थापन के अनुपात में बढ़ते हैं।
7) पॉइज़न प्रभाव।
नमूने के बढ़ाव पैटर्न पर विचार करें:
शरीर के किसी तत्व के लम्बाई की दिशा में छोटा होने की घटना कहलाती है पॉइज़न प्रभाव.
आइए हम अनुदैर्ध्य सापेक्ष विकृति का पता लगाएं।
अनुप्रस्थ सापेक्ष विरूपण होगा:
जहर के अनुपातमात्रा कहलाती है:
आइसोट्रोपिक सामग्री (इस्पात, कच्चा लोहा, कंक्रीट) के लिए पॉसों का अनुपात
इसका मतलब है कि अनुप्रस्थ दिशा में विरूपण छोटेअनुदैर्ध्य।
टिप्पणी
: आधुनिक प्रौद्योगिकियां पॉइसन अनुपात> 1 के साथ मिश्रित सामग्री बना सकती हैं, अर्थात अनुप्रस्थ विरूपण अनुदैर्ध्य से अधिक होगा। उदाहरण के लिए, यह कम कोण पर कठोर फाइबर के साथ प्रबलित सामग्री का मामला है। 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, अर्थात। कम 
, पॉसों का अनुपात जितना अधिक होगा।
चित्र 8.8। चित्र.8.9
(चित्र 8.9.) में दिखाई गई सामग्री और भी आश्चर्यजनक है, और इस तरह के सुदृढीकरण के लिए, एक विरोधाभासी परिणाम होता है - अनुदैर्ध्य बढ़ाव अनुप्रस्थ दिशा में शरीर के आकार में वृद्धि की ओर जाता है।
8) सामान्यीकृत हुक का नियम।
एक तत्व पर विचार करें जो अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ दिशाओं में फैला है। आइए इन दिशाओं में उत्पन्न होने वाली विकृति का पता लगाएं। 
विरूपण की गणना करें 
क्रिया से उत्पन्न 
:
कार्रवाई से विरूपण पर विचार करें 
, जो पॉइसन प्रभाव से उत्पन्न होता है:
कुल विरूपण होगा:
अगर यह काम करता है और 
, फिर x-अक्ष की दिशा में एक और छोटा जोड़ दें 
.
इसलिये: 
इसी तरह: 
इन अनुपातों को कहा जाता है सामान्यीकृत हुक का नियम।
दिलचस्प बात यह है कि हुक के नियम को लिखते समय, कतरनी उपभेदों से बढ़ाव उपभेदों की स्वतंत्रता के बारे में एक धारणा बनाई जाती है (कतरनी तनाव से स्वतंत्रता के बारे में, जो एक ही बात है) और इसके विपरीत। प्रयोग इन मान्यताओं की पुष्टि करते हैं। आगे देखते हुए, हम ध्यान दें कि ताकत, इसके विपरीत, कतरनी और सामान्य तनाव के संयोजन पर दृढ़ता से निर्भर करती है।
टिप्पणी: उपरोक्त कानूनों और मान्यताओं की पुष्टि कई प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष प्रयोगों से होती है, लेकिन अन्य सभी कानूनों की तरह, उनके पास प्रयोज्यता का एक सीमित क्षेत्र है।
